¿Por qué es así la fórmula del valor eficaz de una señal? Intuición y demostración informal

Estoy hablando de esta expresión

Es tan simple como responder a la siguiente pregunta:

"¿Qué voltaje debería tener una señal de voltaje continua, para que transmita la misma potencia que una señal de voltaje alterna?" Ese es el valor eficaz de la señal.

Queremos encontrar el valor de voltaje que debería tener una señal continua, de manera que transmita la misma potencia que la señal alterna.

Obviamente, para que esto tenga sentido el valor del período de la señal, T, debe ser mucho más pequeño que los intervalos de tiempo que vayamos a analizar, para que se pueda considerar la potencia de la señal alterna como algo continuo. 

Si tenemos una señal alterna con un periodo de 10 horas, y lo aplicamos a una lámpara, aunque el valor eficaz de la señal alterna coincida con el que la lámpara necesita, los resultados no serán los mismos que aplicar directamente corriente continua. Eso sí, una vez hayamos completado un período completo, la potencia transmitida será la misma, y si únicamente nos importa la potencia transmitida en ese intervalo, podremos suponer que la potencia que se está transmitiendo es continua. Su valor eficaz. Este sería el caso al calcular la potencia que consumimos en casa, y cuánto deberíamos pagar. No importa si la señal es continua o alterna; únicamente la potencia que transmite.

Podemos empezar calculando la potencia que transmite la señal alterna.

(Ley de Ohm, suponiendo resistencia cte)

Pero no nos interesa la potencia que transmite en cada instante de t, sino su media. Sería igual a la energía que transmite en cada ciclo, dividida entre el período. Al final de cada ciclo la energía transmitida es la misma. Esta es la potencia que debería tener nuestra señal continua. Entonces:

Todavía se puede tener intuición sobre esta expresión. Cuanto más aumenta el voltaje, más diferencia de potencial hay, y más energía lleva cada electrón. Además, como el voltaje es más alto, también circulan más electrones. Más electrones con más energía. El voltaje va al cuadrado. También es inversamente proporcional a la resistencia, y la suma de potencias a lo largo del ciclo (energía), se divide entre el periodo para tener la potencia media.

Ahora sólo nos queda encontrar a qué voltaje corresponde esta potencia.

La resistencia es la misma.